Predavanja - Primijenjena fizikalna geodezija

Elemenati koji se pridružuju prostoru da bi se definiralo polje su: skalari, vektori ili tenzori. Za svaki od elemenata se razvio matematički operat te razlikujemo skalarna, vektorska i tenzorska polja.
Skalarno polje je definiramo na domeni prostora tako da se svakom elementu domene pridružuje skalar. (npr. prostoru pridružiti potencijal ubrzanja sile teže, intenzitet ubrzanja sile teže, anomaliju ubrzanja sile teže i sl.).
Vektorsko polje je definiramo na domeni prostora tako da se svakom elementu domene pridružuje vektorska veličina (npr. prostoru pridružiti vektor ubrzanja sile teže, vektor brzine i sl.).
Tenzorsko polje je definiramo na domeni prostora tako da svakom elementu domene pridružujemo tenzorsku veličinu. Gdje je tenzor veličina koja je određene s više od tri broja (komponente).

U fizikalnoj geodeziji se redovito koristi skalarno polje jer za ostale vrste polja treba provesti raznovrsna geodetska mjerenja. Npr. da bi definirali vektor ubrzanja sile teže (hvatište, pravac, iznos i smjer vektora) moramo odrediti koordinate njegovog hvatišta metodama geodetskog pozicioniranja, za odrediti pravac djelovanja moramo astronomskim mjerenjima odrediti otklone vertikale u točki hvatišta, a da bi definirali veličinu vektora ubrzanja sile teže moramo provesti gravimetrijska mjerenja u točki hvatišta. Smjer djelovanja vektora ubrzanja sile teže je uvijek prema dolje te za njega odrediti nisu potrebna dodatna mjerenja. Iz priloženog se vidi, da bi definirali vektor ubrzanja sile teže moramo kombinirati raznovrsna geodetska mjerenja. Zbog toga prilikom modeliranja polja ubrzanja sile teže redovito raspolažemo skalarnim veličinama. To je razlog zašto su metode modeliranja polja ubrzanja sile teže prvenstveno razvijene za skalarne veličine (polja).
Vektor ubrzanja sile teže se može mjeriti metodama inercijalne gravimetrije. Međutim, kvaliteta mjerenja i mala pokrivenost Zemlje inercijalnim mjerenjima su ograničavajući faktori za njihovu primjenu.

Diferencijalni operatori polja služe kao matematička podloga za modeliranje polja ubrzanja sile teže (v. tablicu 1). Diferencijalni operatori polja: gradijent, divergencija i vrtloženje polja te Laplace operator i Laplace Beltrami operator se koriste u fizikalnoj geodeziji u raznim koordinatnim sustavima.

Tablica 1. Diferencijalne operacije polja


(Vrh)

Teorija potencijala

Za polje koje ima potencijalno svojstvo da vrši rad kažemo da je potencijalno polje, tj. da ima potencijalnu energiju. Potencijal je funkcija položaja u prostoru. Prilikom predstavljanja položaja s obzirom na polje ubrzanja sile teže koriste se zakrivljene koordinate (sferne koordinate, elipsoidne koordinate, prirodne koordinate, lokalne astronomske koordinate) (v. sl. 1).

Slika 1. Zakrivljene koordinate.

Prilikom modeliranja gravitacijsko polje se tretira kao potencijalno polje koje zadovoljava Laplaceovu diferencijanu jednadžbu. Zakonitost ponašanja gravitacijskog potencijala u primijenjenoj fizikalnoj geodeziji je definirana Newtonovim zakonom gravitacije. Osnovne odnose privlačenja između dvije mase u kartezijevom koordinatnom sustavu vidi na slici 2.

Slika 2. Privlačenje točkastih masa.

Prilikom rješavanja problema vezanim za modeliranje polja ubrzanja sile teže javljaju se gravitacijski potencijal, centrifugalni potencijal i potencija ubrzanja sile teže. Glavni izrazi za potencijale i njihove prve derivacije su dane u tablici 2.

Tablica 2. Potencijal i njegove prve derivacije

Potencijalno gravitacijsko polje za idealizirana tijela (homogene kugle, homogene sferne ljuske, šuplje kugle, prstena sfere ljuske,...) je uvod u problematiku modeliranja realnog polja. Na slikama 3a i 3b su prikazani potencijali privlačenja, i njegova prva i druga derivacija za homogenu kuglu i šuplju kuglu, a u tablicama 3a i 3b su prikazani njihovi analitički izrazi.

 
Slika 3a i 3b. Gravitacijski potencijal kugle i šuplje kugle (V) i njihove prve (Vr) i druge (Vrr) derivacije. Jedinice veličina na slici: r [m], V [m² s^-2], Vr [ms^-2] i Vrr [s^-2].

Tablica 3a. Potencijal privlačenja V i njegova prva i druga derivacija za homogenu kuglu

Tablica 3b. Potencijal privlačenja V i njegova prva i druga derivacija za šuplju kuglu

Kugla i nivo-elipsoid su idealizirana fizikalno-matematička tijela koje su našla široku primjenu u geodeziji. Kugla se koristi za definiranje globalnih geopotencijalnih modela, a nivo-elipsoid je osnovno matematičko fizikalno tijelo koje se primjenjuje u geodeziji. Za njega je definirano normalno polje ubrzanja sile teže koje se u geodeziji najčešće koristi kao referentno polje. Nivo-elipsoid zadan je s četiri osnovna parametra. Na osnovu njih se određuju svi ostali parametri (v. tablicu 4). Za Besselov elipsoid koji je službeno u upotrebi u Hrvatskoj nisu zadani fizikalni parametri te on nije nivo-elipsoid (tijelo) već samo rotacioni elipsoid (ploha).

Tablica 4. Osnovni i izračunani parametri nivo elipsoida GRS80, WGS84 i Bessel 1841

Matematičko-fizikalna osnova teorije potencijala gravitacijskog polja je zasnovana na: Gaussovom integralu, Greenovim teoremima, Stokesovom integralu, Poissonovoj diferencijalnoj jednadžbi i Laplaceovoj diferencijalnoj jednadžbi.

Potencijalno polje ubrzanja sile teže je funkcija položaja koje se najviše mijenja s promjenom visine. S obzirom na rezoluciju relativnih gravimetara promjena visine od 3 mm je signifikantna, a kod apsolutnih gravimetara promjena visine od 0,3 mm. S horizontalnom promjenom položaja se ubrzanje sile teže znatno manje mijenja. U normalnom polju ubrzanja sile teže položaj se može promijeniti za cca. 1 m, a da se ubrzanje sile teže ne promijeni više od rezolucije mjerenja relativnih gravimetara. Zbog toga se polju ubrzanja sile teže prilikom određivanju visina mora posvetiti posebna pažnja. U geodeziji se koriste visinski sustavi (v. sl. 4):

- Geopotencijalne kote,
- Elipsoidne visine,
- Ortometrijske visine,
- Dinamičke visine,
- Normalne visine,
- Normalne ortometrijske visine.

Visinski sustavi se razlikuju s obzirom kako se uzimaju u obzir utjecaji polja ubrzanja sile teže..

Slika 4. Odnos osnovnih fizikalnih elemenata visinskih sustava.

Ulazne veličine za modeliranje polja ubrzanja sile teže (anomalije, undulacije, komponente otklona vertikala,...) mogu se predstaviti kao (linearni) funkcionali poremećajnog potencijala od kojih su najvažniji:

     undulacije geoida,

     anomalije ubrzanja sile teže,

       poremećaj ubrzanja sile teže,

      meridijanska komponenta otklona vertikala,

     komponenta otklona vertikala u prvom vertikalu.

Na taj način se na osnovu raznovrsnih mjerenja dobiva poremećajni potencijal T kao jedinstvena veličina za modeliranje polja ubrzanja sile teže.

(Vrh)

Problem graničnih vrijednosti

Problem graničnih vrijednosti definira matematičko-fizikalne osnove modeliranja polja ubrzanja sile teže. Kako je to jedan od temeljnih zadataka geodezije, problem graničnih vrijednosti ima fundamentalnu ulogu u geodeziji.
Problem graničnih vrijednosti bavi se određivanjem regularne harmonijske funkcije V kao rješenjem Laplaceove jednadžbe, pri čemu V ima dodatne uvjete (definirane mjerenjima) s obzirom na graničnu plohu. Funkcija V je regularna i harmonijska u prostoru koji je ograničen zatvorenom plohom ako ima neprekidne 1. i 2. derivacije i zadovoljava Laplaceovu jednadžbu. Osnovne pretpostavke prilikom rješavanja klasičnog problema graničnih vrijednosti fizikalne geodezije su zasnovane na Newtonovoj mehanici:
· problem je definiran u Newtonovom apsolutnom prostoru koji je po definiciji trodimenzionalni Euklidski prostor,
· gravitacijska konstanta G je univerzalna, vremenski neovisna konstanta,
· Zemlja je kruto, ne deformabilno tijelo,
· Zemlja uniformno rotira oko nepomične osi,
· sve mase (uključujući masu atmosfere) su smještene unutar zatvorene granične plohe,
· između masa stvara se Newtonov gravitacijski potencijal V koji je regularan u beskonačnosti i zadovoljava Poissonovu diferencijalnu jednadžbu, a za vanjski prostor je zadovoljena Laplaceova diferencijalna jednadžba,
· granična ploha je zatvorena,
· za definiranje položaja koristi se Zemaljski fiksan geocentrički kartezijev sustav. To je desno orijentiran sustav s osi Z u smjeru osi rotacije, os X leži u ravnini ekvatora i prolazi kroz srednji Greenwichki meridijan, a os Y leži u ravnini ekvatora i tvori ortogonalan sustav. Položaj se može odrediti i u pridruženom elipsoidnom sustavu koordinata.
· granična ploha dovoljno je glatka da se mogu koristiti linearni matematički izrazi,
· granični uvjeti su zadani kao kontinuirane funkcije, koje se dobiju na osnovu geodetskih mjerenja i koji se mogu izraziti kao funkcionali potencijala ubrzanja sile teže,
· za matematičku analizu problema graničnih vrijednosti treba biti definirano u prikladnom funkcionalnom prostoru,
· veličina koja se traži (generalno) je potencijal ubrzanja sile teže W na i izvan granične plohe u prostoru bez masa.

Matematičke pretpostavke problema graničnih vrijednosti fizikalne geodezije proizlaze iz fizikalnih svojstava polja ubrzanja sile teže. Polje ubrzanja sile teže je neprekinuto polje te su i funkcije kojima se interpretira neprekinute funkcije. Modelira se vanjsko polje ubrzanja sile teže koje je uglačano polje te će i funkcije u tom polju biti uglačane bez skokova i lomova. Iz toga slijedi da će postojati derivacije potencijala barem do drugog stupnja.

U klasičnoj teoriji potencijala razlikujemo:
- Prvi problem graničnih vrijednosti (Dirichletov problem): traži se potencijal V koji je regularan i harmoničan u prostoru i koji poprima zadane granične vrijednosti potencijala

.


- Drugi problem graničnih vrijednosti (Neumannov problem): traži se potencijal V koji je regularan i harmoničan u prostoru i koji poprima vrijednosti prvih derivacija potencijala kao granične uvjete

.

- Treći problem graničnih vrijednosti (kombinirani problem): traži se potencijal V koji je regularan i harmoničan u prostoru i koji poprima vrijednosti potencijala i prvih drivacija potencijala kao granične uvjete

.

Osnovna jednadžba fizikalne geodezije povezuje anomalije i poremećajni potencijal



i definira treći problem graničnih vrijednosti za poremećajni potencijal T.

Nastavno razvojem teorije se javljaju:
- Problem graničnih vrijednosti teorije Molodenskog koji je definiran za fizičku površinu Zemlje i koristi nelinearni integral druge vrste potencijala ubrzanja sile teže W

.

Zbog nepravilnosti fizičke površine Zemlje, problem graničnih vrijednosti se ne može riješiti primjenom linearnih izraza. Zbog toga se problem linearizira zamjenom fizičke površine Zemlje plohom teluroida, a realni potencijal W normalnim potencijalom U.
- Problem graničnih vrijednosti za dvije granične plohe: Mjerenja se redovito provode na fizičkoj površini Zemlje, a traži se ploha geoida. Problem graničnih vrijednosti se definira za obje plohe. Osim fizičke površine Zemlje i geoida mogu se kombinirati i druge plohe (teluroid, kvazigeoid).
- Problem graničnih vrijednosti za poremećajni potencijal: poremećajni potencijal T se zbog svojih svojstava (harmonična funkcija, manji signal u odnosu na W) redovito koristi prilikom modeliranja polja ubrzanja sile teže. Problem graničnih vrijednosti za dvije plohe za poremećajni potencijal definiran je pomoću izraza

                         izvan geoida,
         na fizičkoj površini Zemlje,
                  na geoidu,
                           za .

- Problem graničnih vrijednosti za sferu: iako je to samo pojednostavljenje problema graničnih vrijednosti za realnu Zemlju (geoid, fizička površina Zemlje) problem graničnih vrijednosti za sferu ima veliku važnost prilikom modeliranja globalnih geopotencijalnih modela koji se dobiju pomoću sfernih harmonika. Kako je sfera uglačana ploha rješenje se za nju može uvijek naći.
- Stohastički problem graničnih vrijednosti: se javlja zbog stohastičkih karakteristika "mjerenih" veličina, tj. graničnih uvjeta.
Pojavom globalne pokrivenosti satelitskim mjerenjima problematika problema graničnih vrijednosti se proširuje za putanju satelita u kojoj se provode satelitska mjerenja, a kombinacijom satelitskih i terestičkih mjerenja se javljaju podaci modeliranja raznih rezolucija te se javlja multirezolucijski problem graničnih vrijednosti.

Rješenje problema graničnih vrijednosti se svodi na rješavanje Laplaceove diferencijalne jednadžbe pri čemu geodetska mjerenja definiraju granične uvjete. Geoid je najstarija ploha za koju se rješava problem graničnih vrijednosti u geodeziji. On je nivo ploha potencijala ubrzanja sile teže koja definira oblik Zemlje. Definiranje pojma geoida datira iz XIX. stoljeća. Gauss je prvi analitički definirao oblik Zemlje. On u svom radu iz 1828. godine definira geometriju površine Zemlje:

Ono što u geometrijskom smislu nazivamo površinom Zemlje nije ništa drugo već površina koja siječe smjer ubrzanja sile teže pod pravim kutom i koje su svjetski oceani dio.

Nastavno na Gaussov rad je Listing prvi uveo pojam geoida kao analitičke površine Zemlje. On u svom radu iz 1873. godine koristeći gaussovu terminologiju piše:

Prethodno definiranu matematičku površinu Zemlje, koje je ocean dio, zvat ćemo geoidalna površina Zemlje ili geoid.

Geoid se zadaje undulacijama ili visinama geoida u odnosu na elipsoid. Da bi se dobio uvid u razlike između raznih realizacija geoida na slici 5 su prikazani odnosi geoida na sjeveru Njemačke (GPS/nivelmanski geoid (GPS), gravimetrijski (grav.), gravimetrijsko-GPS/nivelmanski (GPS-grav.), OSU91A i BRD kvazigeoid).

Molodenski je razvio teoriju koja uzima u obzir vrijednosti ubrzanja sile teže na fizičkoj površini, a ne na geoidu. U tom slučaju problem graničnih vrijednosti ne ovisi o hipotezi o gustoćama masa. S primjenom površinskih anomalija slobodnog zraka dobivaju se visinske anomalije koje ne ovise o hipotezi gustoća masa. Nanesu li se visinske anomalije od fizičke površine prema dolje, dobije se površina koju je R. A. Hirvonen nazvao teluroid. Teluroid nije nivo-ploha, ali se može razmatrati kao aproksimacija fizikalne površine Zemlje. Nanesu li se normalne visine od elipsoida prema gore, dobiva se ploha kvazigeoida koja također nije nivo ploha.

(Vrh)

Globalni geopotencijalni modeli

Rješavanjem problema graničnih vrijednosti potencijala privlačenja za sferu dobije se razvoj u red po sfernim funkcijama. Sfera ima glatku površinu i rješenje problema graničnih vrijednosti za glatku plohu sfere uvijek postoji. Rješenjem se dobiju Legendrove funkcije, odnosno pridružene Legendrove funkcije. Površinske sferne harmonike definiraju razvoj funkcije na površini sfere s obzirom na uvjet harmoničnosti definiran Laplaceovom diferencijalnom jednadžbom.
Ortonormalizacija Legendrovih funkcija i harmonijskih koeficijenata podrazumijeva određivanje ortogonalne jedinične baze funkcija na sferi.
Geometrijskom interpretacijom razvoja u redove sfernih funkcija se dobiju: zonalne (m = 0), teseralne (l ą m) i sektorske (l = m) sferne harmonike.
Razvoj normalnog potencijala ubrzanja sile teže za nivo-elipsoid u red po sfernim funkcijama, zbog brze konvergencije polja, koristi samo članove do 8. stupnja razvoja

.

Razvoj u sferne funkcije za poremećajni potencija dobije se pomoću izraza

.

Na osnovu ovog izraza za poremećajni potencijal mogu se dobiti ostali elementi polja ubrzanja sile teže (anomalije, undulacije, komponente otklona vertikala druge drivacije potencijala,...) s obzirom na razvoj u sferne redove.
Globalni geopotencijalni modeli (Global Potential Model, GPM) dobivaju se razvojem u red sfernih funkcija i omogućuju računanje elemenata polja ubrzanja sile teže za svaku točku na i u vanjskom području Zemlje. Iako ga je moguće primijeniti za svaku točku na i u okolici Zemlje, kvaliteta GPMa je ograničavajući faktor da bi se mogao koristiti za sve potrebe. GPM predstavlja dugovalni, uglačani model polja ubrzanja sile teže koji ne sadrži lokalne, detaljne karakteristike polja. GPMi razvijeni na osnovu samo satelitskih podataka su razvijeni do manjeg stupnja i reda razvoja (prije pojave CHAMP i GRACE modela maksimalno do reda i stupnja 72) u odnosu na modele koji koriste i terestičke podatke. Zbog toga je polje ubrzanja sile teže koji oni definiraju uglađenije i ne sadrži fine strukture polja. Na slikama 6a i 6b su prikazane geoidne undulacije za Earth Gravitational Model 1996 (EGM96) koji je razvijen do stupnja i reda 360 i "Joint Gravity Model 2" (JGM-2) do reda i stupnja 70.

    
Slika 6a i 6b. Undulacije geoida globalnih geopotencijalnih modela EGM96 i JGM-2 na teritoriju Hrvatske.

Usporedbom EGM96 i JGM-2 geoida na gornjim slikama, može se uočiti stupanj uglačanosti modela s obzirom na stupanj razvoja modela. Do kojeg stupnja i reda se može razviti GPM ovisi o kvaliteti i distribuciji u ulaznih podataka. Tri satelitske misije:

· Challenging Minisatellite Payload (CHAMP),
· Gravity Recovery and Climate Experiment (GRACE),
· Gravity Field and Steady-State Ocean Circulation Explorer (GOCE),

definiraju nove standarde modeliranja globalnih geopotencijalnih modela. Očekuje se dobivanje centimetarskog globalnog geoida s rezolucijom od 100 km.

Vertikalni datum je tradicionalno definiran srednjom razinom mora na osnovu mareografskih mjerenja. Njime je definirana referentna ploha ortometrijskih visina, tj. geoid. Usporedbom hrvatskog visinskog datuma i EGM96 je dobivena razlika u visini od -1,3 m. Ispitivanja više GPMa na teritoriju Hrvatske je ukazalo da su svi viši u odnosu na hrvatski visinski datum. Također i usporedba europskog (EUVN) visinskog datuma s CHAMP i GRACE globalnim modelima ukazuje da je i europski visinski datum niži u odnosu na globalni za oko pola metra.

Da bi se dobio uvid u strukturu globalnog geopotencijalnog modela s obzirom na stupanj razvoja, na slici 7 je prikazan razvoj (l = m = 360) undulacija geoida OSU91A modela. Razvoj je uspoređen s GPS/nivelmanskom undulacijom (N^GPS) koja je određena znatno pouzdanije. Na slici se može uočiti da početne undulacije (datumske harmonike) imaju ekstremne vrijednosti, zatim s povećanjem reda razvoja dolazi do smirivanja i konvergencije undulacija. Prilikom modeliranja ovog GPM modela za razvoj nižih redova (l = m = 72) korištena su satelitska mjerenja. Na slici se u tom području razvoja može jasno uočiti drugačije ponašanje modela. Daljnjim razvojem model se smiruje i konvergira.

(Vrh)

Utjecaj terena

Mase terena djeluju na polje ubrzanje sile teže s obzirom na:

· razvedenost terena,
· anomalnost gustoća masa.

 Slika 8. Odnos stajališne točke P i promatrane točke prizme Q.

Utjecaj topografije na polje ubrzanja sile teže se određuje topografskom redukcijom. Topografska redukcija (v. sl. 9) se u literaturi također naziva i kompletna Bouguerova redukcija. Razlog tome je što se sastoji od utjecaja Bouguerove ploče i klasične korekcije reljefa.

Slika 9.Topografija.

Korekcija reljefa se javlja zbog ne kompletnog obuhvaćanja svih topografskih masa Bouguerovom pločom (v. sl 10). Ona obuhvaća topografske mase koje nisu uključene u Bouguerovu redukciju ili praznine koje nisu trebale biti uključene u Bouguerovu redukciju.

Slika 10. Korekcija reljefa.

Rezidualni model terena (Residual Terrain Modell, RTM) je dio topografije koji odstupa (višak i manjak masa) od uglačane plohe (v. sl. 11).

Slika 11. Rezidualni model terena.

Zemljina kora je u labilnoj hidrostatskoj ravnoteži s obzirom na plašt Zemlje. Prema Airyevom modelu da bi izdignuti (planinski) dijelovi topografije bili u lokalnoj hidrostatskoj ravnoteži oni moraju biti dublje uronjeni u plašt Zemlje. To znači da je na planinskim područjima Zemljina kora deblja u odnosu na niže predjele. Iz istog razloga je kora Zemlje na oceanima tanja nego na kopnenim područjima. Da bi se uzele u obzir ove nepravilnosti računaju se izostatske redukcije (v sl. 12).

Slika 12. Izostatski model topografije.

Računanje utjecaja topografije se redovito provodi metodama numeričke integracije ili primjenom brze Fourierove transformacije koja je naročito pogodna zbog brze obrade velikog broja podataka.

(Vrh)

Remove-restore postupak

Primjenom remove-restore postupka se iz mjerenih veličina, prije modeliranja, odstranjuju (remove), a nakon modeliranja opet vraćaju (restore) signali polja ubrzanja sile teže. Remove-restore postupak se najčešće provodi primjenom dugovalnog signala (primjenom globalnog potencijalnog modela) i kratkovalnog (primjenom Residual Terrain Modell). Na taj način se dobije umanjen signal za modeliranje, a numerički problemi pojednostavljeni jer je bolje zadovoljen uvjet da su mjerene veličine linearni funkcionali poremećajnog potencijala. Mjerenja se mogu predstaviti kao linearni funkcional L(T) poremećajnog potencijala T, koji se može rastaviti pomoću izraza

Na slici 13 prikazano je rastavljanje GPS/nivelmanske undulacije.

Slika 13. Rastavljanje GPS/nivelmanske undulacije.

Klasične veličine za modeliranje polja ubrzanja sile teže su: undulacije geoida, anomalije ubrzanja sile teže i komponente otklona vertikala. One se rastavljaju na dugovalni (GPM), srednjevalni (M) i kratkovalni (RTM) dio polja ubrzanja sile teže pomoću izraza

N_GPS = N_GPM + N_M + N_RTM,

Dg = Dg_GPM + Dg_M +Dg_RTM,

ksi = ksi _GPM + ksi _M + ksi _RTM,

eta = eta _GPM + eta _M+ eta _RTM.

Rastavljanje anomalija ubrzanja sile teže na dijelove spektra se može vidjeti na sljedećim slikama.

     Slika 14. Anomalije ubrzanja sile teže.                                 Slika 15. EGM96-anomalije.

   
Slika 16. RTM-anomalije ubrzanja sile teže.                  Slika 17. Anomalije u srednjevalnom području.

Na slici 14 je predstavljen potpuni signal anomalija ubrzanja sile teže. Na slici 15 su prikazane anomalije dobivene na osnovu globalnog geopotencijalnog modela EGM96. One imaju dugovalni, uglačani karakter. Na slici 16 su prikazane RTM-anomalije koje imaju kratkovalni karakter opisujući lokalnu, finu strukturu polja ubrzanja sile teže. Na slici 17 su prikazane anomalije nakon odstranjivanja (remove) dugovalnog i kratkovalnog dijela signala. To su vrijednosti koje su korištene u postupku modeliranja. Nakon modeliranja se dugovalne i kratkovalne vrijednosti vraćaju (restored).

(Vrh)

Stokesov integral

Primjenom integralnih izraza na rješavanje problema graničnih vrijednosti za geoid dobije se Stokesov integral (Georg Gabriel Stokes). Stoksov integral je naj starija metoda modeliranja polja ubrzanja sile teže. Stokasov integral ima oblik

,

a funkcija S se naziva Stokesova funkcija i ima oblik

.

Stokesova funkcija ovisi samo o sfernoj udaljenosti. Stoksova funkcija se može razviti u red sfernih funkcija te Stoksov integral i funkcija u sfernoj aproksimaciji imaju oblik

,

.

Prilikom primjene Stokesovog integrala, anomalije ubrzanja sile teže moraju biti reducirane na plohu geoida. Redukcija anomalija s fizičke površine na plohu geoida je problem kontinuacije polja ubrzanja sile teže prema dolje. Prilikom redukcije anomalija mase iznad geoida se fiktivno odstranjuju primjenom Helmertove kondenzacije. Postupak helmertove kondenzacijske redukcije ima tijek:
1) fiktivno se odstranjuju sve mase iznad geoida,
2 ) mjerenje veličine u promatranoj točki P na fizičkoj površini Zemlje se reduciraju u točku P₀ na geoidu koristeći redukciju slobodnog zraka,
3) fiktivno odstranjene mase kondenziraju se u sloj na geoidu.

Premještanjem masa se mijenja potencijal polja ubrzanja sile teže i geoid se mijenja u kogeoid. Nastala promjena se naziva indirektni utjecaj. Promjena potencijala zbog indirektnog utjecaja dobiva se s pomoću izraza

gdje je V_P0 je potencijal topografskih masa u točci P₀, V^C_P0 je potencijal kondenziranih masa u točci P₀.

Indirektni utjecaj na undulacije (vertikalni razmak između geoida i kogeoida) dobije se pomoću izraza

Indirektni utjecaj na komponente otklona vertikala dobije se pomoću izraza

,

.

Komponente otklona vertikala se mogu dobiti pomoću Stoksove funkcije primjenom Vening-Meineszove formule

,

,

gdje je

.

(Vrh)

Kolokacija

Teoriju kolokacije po metodi najmanjih kvadrata za primjenu u geodeziji razvio je T. Krarup krajem šezdesetih godina, a početkom sedamdesetih godina teorijski i numerički obradio H. Moritz. C. C. Tcherning je razvojem programa GEOCOL i teorijski problem sveo na numerički i omogućio širem krugu korisnika praktičku primjenu metode kolokacije u području fizikalne geodezije.
Modeliranje polja ubrzanja sile teže metodom kolokacije zasnovano je na statističkoj interpretaciji polja ubrzanja sile teže i poopćenoj metodi najmanjih kvadrata. Funkcija kovarijance ima centralnu ulogu u metodi kolokacije. Ona definira ponašanje ulaznih veličina modeliranja (mjerenja) na osnovu koje se predicira signal (elementi polja ubraznja sile teže) u proizvoljnoj točci promatranog područja.
Kolokacija po metodi najmanjih kvadrata je generalizirana metoda izjednačenja koja kombinira izjednačenje, filtriranje i predikciju. Jednadžbe mjerenja po metodi kolokacije mogu se prikazati pomoću izraza

l = A x + s + n

Pri čemu je l vektor mjerenja, n vektor šuma, A matrica koeficijenata, x vektor nepoznatih parametara, s vektor signala. Kolokacija po metodi najmanjih kvadrata zadovoljava uvjet minimalne norme

s^T C_ss^-1 s + n^T C_nn^-1 n = min

gdje je C_ss matrica kovarijanci signala i C_nn matrica kovarijanci šuma. Rješenja primjenom metode kolokacije se dobiju pomoću izraza

x = (A^T C_ll^-1 A)^-1 A^T C_ll^-1 l ,

n = C_nn C_ll^-1 (l - A x) ,

s = C_sx C_ll^-1 (l - A x)

gdje je C_ll matrica kovarijanci mjerenja, a C_sx matrica kroskovarijanci signala i nepoznanica. Da bi se metodom kolokacije mogla provesti predikcija, moramo imati poznatu matricu kovarijance (funkciju) koja povezuje mjerene vrijednosti l i predicirane vrijednosti signala s.
Veličine za modeliranje polja ubrzanja sile teže mogu se izraziti kao linearni funkcionali poremećajnog potencijala. Na taj način se dobiva jedinstvena veličina za modeliranje polja ubrzanja sile teže, a to omogućuje da kolokacija koristi za modeliranje raznovrsne podatke polja ubrzanja sile teže u jedinstvenom modelu.
Funkcija kovarijance definira zakonitost ponašanja signala s obzirom na mjerene veličine. Primjenom te zakonitosti se prediciraju vrijednosti elemenata polja ubrzanja sile teže (undulacije geoida, anomalije, otkolni vertikala i dr.) u proizvoljnim točkama promatranog područja. Razvoj funkcije kovarijance u red sfernih harmonika ima oblik

.

Gdje su P_n(cos y) Legendrovi polinomi, a s_l²(T) stupanjska varijanca poremećajnog potencijala. Na slici 18 prikazan je primjer empirijske kovarijanc funkcije za undulacije geoida.

Slika 18. Empirijska funkcija kovarijance za undulacije geoida.

Primjenom remove-restore postupka na ulazne veličine se i funkcija kovarijance rastavlja na tri dijela. Kako se remove-restore postupkom dugovalni i kratkovalni dijelovi eliminiraju i modelira samo srednjevalni dio, funkcija kovarijance će se sastojati od kovarijanc funkcije signala srednjevalnog područja i kovarijanc funkcija pogreška ostalih dijelova.

Na slici 19 je prikazan primjer gravimetrijsko-astrogeodetski-GPS/nivelmanski geoid na sjevernom području Hrvatske dobiven metodom kolokacije.

Slika 19. Lokalni geoid na sjevernom području Hrvatske.

Primjenom metode kolokacije možemo dobiti procjena kvalitete dobivenih veličina x i s. Pri tome se koriste matrice kovarijanci pogrešaka

E_xx = (A^T C_ll^-1 A)^-1 ,

E_ss = C_ss - C_xs C_ll^-1 (l - A (A^T C_ll^-1 A)^-1 A^T C_ll^-1) C_xs ,

E_xs = - (A^T C_ll^-1 A)^-1 A^T C_ll^-1 C_xs .

Varijance pogrešaka izjednačenih veličina su dijagonalni članovi matrica E_xx i E_ss. Na slici 20 je prikazana procjena kvalitete astrogeodetskog geoida na sjevernom području Hrvatske primjenom metode kolokacije.

Slika 20. Procjena kvalitete lokalnog geoida na sjeveru Hrvatske.

(Vrh)

Brza Fourierova transformacija

Francuski matematičar Joseph Fourier (1768 - 1830) dokazao je da se svaka periodična funkcija može rastaviti u red sinus i kosinus funkcija. Fourierov razvoj rastavlja periodičku funkciju u sumu sinusoida s cikličkim promjenama. Periodičnu funkciju g (t) možemo razviti u red pomoću izraza

.

U ovom izrazu sinus i kosinus funkcije definiraju matematički generator, a koeficijenti a i b se određuju s obzirom na empirijske podatke. Fourierova transformacija rastavlja signal (vrijeme/prostor i amplitudu) u frekvenciju i amplitudu.

U primijenjenoj fizikalnoj geodeziji brza Fourierova transformacija.(Fast Fourier Transformation, FFT) se koristiti pri obradi Stokesova integrala, Vening-Meineszova integrala, integrala Molodenskog, kolokacije po metodi najmanjih kvadrata, topografske redukcije kao i kod računanja funkcije kovarijance i spektra snage. Kako je frekvencija osnovna varijabla u Fourierovoj transformaciji ona omogućuje modeliranje polja ubrzanja sile teže u frekvencijskom području. Da bi se ulazni podaci mogli predstaviti u frekvencijskoj domeni moraju biti zadani u pravilnom polju točaka. Glavna prednost FFTa je u mogućnosti obrade velikog broja podataka u kratkom vremenu.

Stokesov integral u prostornoj domeni predstavljen pravokutnim koordinatama x, y (ravninska aproksimacija) ima oblik

,

a u frekvencijskoj domeni

.

Gdje je DG (u,v) spektar funkcije Dg(x,y). Vening-Meineszov integral za komponente otklona vertikale u prostornoj domeni ima oblik

,

a u frekvencijskoj domeni

.

FFT tehnika omogućava brzo računanje topografske redukcije. Topografska redukcija ubrzanja sile teže u linearnoj aproksimaciji može se rastaviti na Bouguerovu redukciju ploče i redukciju reljefa tc koja se dobije pomoću izraza

.

Funkcija kovarijance dana je u spektralnoj domeni pomoću izraza

.

Glavni problemi kod primjene FFT tehnike prilikom modeliranja polja ubrzanja siel teže su zahtjev za rasterskim rasporedom podataka, pomak faze, ciklička konvolucija, konačan broj veličina za modeliranje i aliasing pogreška. Pomak faze znači pomak koordinatnog sustava matematičkog modela nasuprot koordinatnom sustavu veličina koje se modeliraju. Ona se može korigirati s pomoću jedne translacije. Ciklička konvolucija je prouzrokovana konvolucijom konačnog stupnja harmonijskog razvoja. Konačan broj veličina modeliranja na lokalnom području imaju za posljedicu da velike valne duljine unutar jednog područja ostaju nerazmatrane. Aliasing pogreška javlja se radi diskretnog karaktera veličina modeliranja. Pri tome su manje frekvencije zanemarene.

(Vrh)

Wavelets (valiæi) analiza

Wavelet analiza je logički nastavak Fourierove analize koja omogućuje primjenu ne samo periodičnih funkcija kao kod Fourierove transformacije. To omogućuje modeliranje ne stacionarnih karakteristika signala što nije moguće s Fourierovom analizom. Waveletsi omogućuju modeliranje funkcije u prostornoj i frekvencijskoj domeni, za razliku od Fourierove analiza koja omogućuje modeliranje funkcije samo u frekvencijskoj domeni.

Wavelets analiza uključuje rastavljanje kompliciranih funkcija u jednostavnije različitih mjerila i pozicija što je osnova multirezolucijske analize. Waveleti su bazirani na multirezolucijskoj analizi koja omogućuje frekvencijsku i prostornu lokalizaciju.

Wavelets i multirezolucijska analiza nalaze sve više svoju primjenu i u geodeziji. Neke od primjena wavelet analize na rješavanje problema u geodeziji su:
- multirezokucijska analiza i prikaz globalnog geopotencijalnog modela,
- harmonijski waveleti pri aproksimaciji gravitacijskog polja,
- kontinuacija polja ubrzanja sile teže,
- otkrivanju faznih skokova (cycle slips) GPS signala,
- analiza gibanja polova,
- rješavanje inverznog gravimetrijskog problema,
- prikaz digitalnog modela reljefa,
- određivanje promjene rotacije Zemlje.
Od posebnog interesa za globalnu geodeziju su sferni waveleti.

Primjena wavelets analize na problematiku modeliranja polja ubrzanja sile teže i rješavanje problema u primijenjenoj fizikalnoj geodeziji još se uvijek intenzivno razvija i njen puni doprinos tek se očekuje. Neke od glavnih karakteristika multirezolucijske analize za primjenu u fizikalnoj geodeziji su:
- multirezolucijska analiza omogućuje aproksimaciju gravitacijskog polja od grublje do finije skale,
- podaci korišteni prilikom modeliranja gravitacijskog polja imaju različite rezolucije koji se mogu obraditi multirezolucijskom analizom.
Primjenom multirezolucijske analize waveleti se mogu koristiti za razdvajanje strukture gravitacijskog polja u više jednostavnih komada različite skale i pozicije. Multirezolucijska analiza omogućuje ne samo optimalnu procjenu signala gravitacijskog polja u višestrukim rezolucijama već i fuziju mjerenja raznih rezolucija. Konvencionalna metoda koja obrađuje multirezolucijske podatke je kolokacija po metodi najmanjih kvadrata. Ona simultano kombinira sve podatke s različitim rezolucijama.